Stelling van J.
J. is de oudste bij ons, hij is 14. Toen hij merkte dat ik het interessant vond dat zijn broer iets had ontdekt aan kwadraten en dingen die daar symmetrisch in de buurt liggen had hij ook een duit in het zakje:
Het verschil tussen twee opeenvolgende kwadraten wordt telkens 2 groter.
Of in een voorbeeld:
0 kwadraat = 0
1 kwadraat = 1, dus 1 meer
2 kwadraat = 4, dus 3 meer (2 hoger dan 1)
3 kwadraat = 9, dus 5 meer (2 hoger dan 3)
‘Dat heb ik eens ontdekt toen ik niet in slaap kon komen’.
Natuurlijk ben ik meteen naar het bewijs gaan zoeken. Het blijkt altijd op te gaan bij positieve getallen. Ook als je start met een breuk, en daar kan het nog wel eens handig voor zijn.
Je kunt het heel makkelijk visueel aantonen ook: een vierkant krijgt steeds een nieuwe schil om zich heen, en die moet telkens zowel horizontaal als vertikaal een extra stukje erbij hebben om te passen.
Dit gaat mijn petje te boven
Dat is het leuke van cijfers: er zijn allerlei logische verbanden aan te brengen. Nog een voorbeeld:
als je van een vermenigvuldiging beide zijden met 1 verhoogd is het antwoord op de tweede vermenigvuldiging gelijk aan de uitkomst van de eerste vermenigvuldiging + de som van de voorste getallen van de vermenigvuldigingen en het verschil tussen de beide delen van de vermenigvuldiging(achterste-voorste getal)
b.v. 12×14= 168 13×15=168+(12+13)+(14-12)= 168+25+2=195
12×27=324, 13×28= 324 + (12+13)+(27-12)=324+25+15=364
maar ook:
12×6= 72
13×7= 72+(12+13)+(6-12)=72+25-6=91
En zo is een enorme hoeveelheid van dit soort grapjes en soms aardig hulpmiddelen op te stellen.
@frans: maar dat kan nog eenvoudiger: je hoeft alleen maar aan de éne kant het ‘kleine’ getal en aan de andere kant het ‘grote’ getal bij te tellen. Volstrekt logisch ook, als je het uittekent op ruitjespapier.
Misschien is nog duidelijker en makkelijker (want je kunt geen getallen door elkaar halen): tel beide factoren erbij en dan nog 1 als passtuk.
bijv: als 12 x 14 = 168 dan 13 x 15 = 168 + 12 + 14 + 1.
Wat J. ontdekt had is eigenlijk bij nader inzien volkomen logisch, alleen had ik het nooit in cijfers uitgedrukt gezien. De afgeleide van een kwadratische functie is een lineaire functie. N.B. Afgeleide betekent dan de hellingshoek: stijging gedeeld door horizontaal afgelegde afstand.
Ik vond die van mij wel leuk om mensen die getallen niet snappen in verwarring te brengen
Maar je hebt uiteraard gelijk. Jouw formules reiken zelfs nog verder:
Verschil = (som kleinste+ som grootste getal)x verschil
of (som kleinste opgave + verschil)x verschil
of (som grootste opgave – verschil)x verschil
Voorbeeld: 12×27=324, 15×30=?
of: 324+(12+30)x3
of 324+ (12+27+3)x3
of 324+ (15+30-3)x3
(in jouw voorbeeld kon de factor “x verschil” buiten beschouwing worden gelaten omdat het verschil 1 was)
@frans: ik snap je punt.
Ook dit kun je heel goed visualiseren: eerst hoog je je stapel op met het aantal rijen dat erbij komt, daarna voeg je het aantal toe te voegen kolommen erbij.
Om bij dit soort trucjes niet in valkuilen te trappen is het eigenlijk onmisbaar om altijd de redenering waarom het geen trucje is achter de hand te houden.